假设我们现在需要评价 4 所大学的效率, 它们都有两个输入量, 三个输出量, 如表下表所示：

两个输入指标是: (1)每年收到的公众或者私人基金; (2)教师总数。 三个输出指标是: (1)每年平均毕业生总数; (2)毕业生的平均年薪; (3)发表学术论文的总数。

接下来, 我们将构建虚拟决策单元, 注意到对于每一所大学, 会得到不同的虚拟决策单元. 井且歔拟决策单元都是现有决策单元的组合 (在这个例子中是这 4 所大学)。因此, 假设一系列的未知权重: $\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C$ 以及 $\lambda_D$, 满足 $\lambda_A+\lambda_B+$ $\lambda_C+\lambda_D=1$, 那么虚拟决策单元的两个输入量分别是 $\lambda_A+0.8 \lambda_B+0.6 \lambda_C+\lambda_D$ 和 $2500 \lambda_A+2200 \lambda_B+1500 \lambda_C+2750 \lambda_D$ 。个输出量是 $5 \lambda_A+4 \lambda_B+3 \lambda_C+4 \lambda_D, 50 \lambda_A+$ $40 \lambda_B+55 \lambda_C+40 \lambda_D$ 和 $12 \lambda_A+8 \lambda_B+6 \lambda_C+8 \lambda_D$ 。通过对这 4 个权重賦值, 我们 可以得到不同的虚拟决策单元。

相比最优的虚拟决策单元, 我们希望知道真实决策单元能否通过增加输出或者减少输入达到。假设虚拟决策单元的输入量小于或者等于真实决策单元, 输出量大于或者等于真实决策单元。对于决策单元 $A$ 可用数学语言表示为 $$ \begin{aligned} &\lambda_A+0.8 \lambda_B+0.6 \lambda_C+\lambda_D \leqslant 1 \\ &2500 \lambda_A+2200 \lambda_B+1500 \lambda_C+2750 \lambda_D \leqslant 2500 \\ &5 \lambda_A+4 \lambda_B+3 \lambda_C+4 \lambda_D \geqslant 5 \\ &50 \lambda_A+40 \lambda_B+55 \lambda_C+40 \lambda_D \geqslant 50 \\ &12 \lambda_A+8 \lambda_B+6 \lambda_C+8 \lambda_D \geqslant 12 \\ &\text { 且满足 } \lambda_A+\lambda_B+\lambda_C+\lambda_D=1 \end{aligned} $$ 下一步, 假设我们使用的是输入导向的DEA模型, 即我们希望在保持当前输出水平时使输入减少, 对于决策单元 $A$, 我们构建以下模型: $$ \min \theta $$ s.t. $$ \begin{aligned} &\lambda_A+0.8 \lambda_B+0.6 \lambda_C+\lambda_D \leqslant 1 \times \theta \\ &2500 \lambda_A+2200 \lambda_B+1500 \lambda_C+2750 \lambda_D \leqslant 2500 \times \theta \\ &5 \lambda_A+4 \lambda_B+3 \lambda_C+4 \lambda_D \geqslant 5 \\ &50 \lambda_A+40 \lambda_B+55 \lambda_C+40 \lambda_D \geqslant 50 \\ &12 \lambda_A+8 \lambda_B+6 \lambda_C+8 \lambda_D \geqslant 12 \\ &\lambda_A+\lambda_B+\lambda_C+\lambda_D=1 \\ &\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C, \lambda_D, \theta \geqslant 0 \end{aligned} $$

同样，对于决策单元 $B$, 有

$$ \min \theta $$$$ \begin{aligned} &\text { s.t. } \\ &\lambda_A+0.8 \lambda_B+0.6 \lambda_C+\lambda_D \leqslant 0.8 \times \theta \\ &2500 \lambda_A+2200 \lambda_B+1500 \lambda_C+2750 \lambda_D \leqslant 2200 \times \theta \\ &5 \lambda_A+4 \lambda_B+3 \lambda_C+4 \lambda_D \geqslant 4 \\ &50 \lambda_A+40 \lambda_B+55 \lambda_C+40 \lambda_D \geqslant 40 \\ &12 \lambda_A+8 \lambda_B+6 \lambda_C+8 \lambda_D \geqslant 8 \\ &\lambda_A+\lambda_B+\lambda_C+\lambda_D=1 \end{aligned} $$$$ \lambda_A, \lambda_B, \lambda_C, \lambda_D, \theta \geqslant 0 $$

对于决策单元 $C$, 有 $$ \begin{aligned} &\min \theta \\ &\text { s.t. } \\ &\lambda_A+0.8 \lambda_B+0.6 \lambda_C+\lambda_D \leqslant 0.6 \times \theta \\ &2500 \lambda_A+2200 \lambda_B+1500 \lambda_C+2750 \lambda_D \leqslant 1500 \times \theta \\ &5 \lambda_A+4 \lambda_B+3 \lambda_C+4 \lambda_D \geqslant 3 \\ &50 \lambda_A+40 \lambda_B+55 \lambda_C+40 \lambda_D \geqslant 55 \\ &12 \lambda_A+8 \lambda_B+6 \lambda_C+8 \lambda_D \geqslant 6 \\ &\lambda_A+\lambda_B+\lambda_C+\lambda_D=1 \\ &\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C, \lambda_D, \theta \geqslant 0 \end{aligned} $$ 对于决策单元 $D$, 有 $$ \begin{aligned} &\min \theta \\ &\text { s.t. } \\ &\lambda_A+0.8 \lambda_B+0.6 \lambda_C+\lambda_D \leqslant 1 \times \theta \\ &2500 \lambda_A+2200 \lambda_B+1500 \lambda_C+2750 \lambda_D \leqslant 2750 \times \theta \\ &5 \lambda_A+4 \lambda_B+3 \lambda_C+4 \lambda_D \geqslant 4 \\ &50 \lambda_A+40 \lambda_B+55 \lambda_C+40 \lambda_D \geqslant 40 \\ &12 \lambda_A+8 \lambda_B+6 \lambda_C+8 \lambda_D \geqslant 8 \\ &\lambda_A+\lambda_B+\lambda_C+\lambda_D=1 \\ &\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C, \lambda_D, \theta \geqslant 0 \end{aligned} $$ 在这些模型中, 决策变量是 $\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C, \lambda_D, \theta$, 目标函数是 $\theta$ 本身, 我们可以用软件来解决这些模型。

参考资料